2019年专升本高等数学(二)考前重点资料《导数与微分》_成考学历教育网

发布时间:2019-03-07 10:07:31
    第二章  一元函数微分学

    第一节 导数与微分

    一、导数的概念

    1.导数的定义

    定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在点x。处取得改变量△x时,函数f(x)取得相应的改变量

    Ay=f(x0+Ax)-f(xo)

    如果极限

    存在,则称此极限值为函数f(x)在点xo处的导数,记作若函数f(x)在点x。处有导数,则称函数f(x)在点x。处可导。若函数f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导,则称函数f(x)在区间(a,b)内可导,此时,对于区间(a,b)内每一点x,都有一个导数值f'(x)与之相对应,则称其为函数y=f(x)在(a,b)内对x的导函数,简称为导数,并记作

    2.导数的几何意义

    导数的几何意义:函数y=f(x)在点x。处的导数f(xo)就是曲线y=f(x)在点M(ro,y%)处的切线MT的斜率(如图2-1),即

    3.左导数与右导数

    左导数f'(xn):如果当Ar→0时,A念的极限存在,则称此极限值为函数f(x)在x。处的左导数,记为f'(xo),即右导数f';(xo):如果当Ax→0时,A”的极限存在,则称此极限值为函数f(x)在x。处的右导数,记为f';(xo),即函数在一点存在极限的充分必要条件是左、右两个极限存在且相等,同时我们可得到函数f(x)在xo点可导的充分必要条件是f'(xo)与f't(xo)都存在且相等。

    4.可导与连续的关系

    定理一如果函数y=f(x)在点xn处可导,则它在x处必定连续。

    由这个定理可知:若函数f(x)在x。处不连续,则f(x)在工n处必定不可导。

    [注意]

    这个定理的逆定理不成立。即函数y=f(x)在xn处连续,它在r。处不一定可导。所以连续只是可导的必要条件,而不是充分条件。

    二、求导方法

    1.基本初等函数的导数公式

   (1)(c)'=0

   (2)(x)'=ar=(a为实数)

   (3)(log.x)'=品。(a>0,且a子1)

   (4)(lnx)'=_

    (5)(a-)’=a'lna (a>0,且a子1)

   (7)(sinx)'=cosx

   (8)(cosx)'=-sinx

   (9)(tanx)'=sec'x

   (10)(cotx)'=-csc2x

   (11)(secx)'=secx·tanx

   (12)(cscx)'=-cscx·cotx

   (13)(arcsinx)'=(-1<x<1)

   (14)(arccosx)'=—(-1<x<1)

    (15)(arctanx)'=z

   (16)(arccotr)'=--g

    2.导数的四则运算公式

   (1)(u±v)'=u'士v”

   (2)(u·v)'=u'·v+u·v

   (3)(cu)'=cqu'(c为常数)

    3.复合函数求导公式

    ydy.du=f'(uj.g'(x)

    其中y=f(u),u=p(x)

    4.隐函数的导数

    以上所讲的都是对显函数y=f(x)求导数的方法。在实用中有时要对隐函数求导数.

    设方程F(x,y)=0表示一个隐函数(一般认为自变量是x,函数是y),例如

    x2+yy-2=0

    就表示一个隐函数.

    对隐函数求导数,可以采用以下两个方法之一.

   (1)如果能从F(x,y)=0解出y=f(x),则可以用以前对显函数求导数的方法处理.不过这种方法有时用不上,因为有些隐函数是不能解出显函数y=f(x)的.

   (2)将F(x,y)=0的两边各项分别对自变量x求导数,计算时要将y看成x的函数,将y的某个函数(例如2)看成x的复合函数,用复合函数求导数的公式计算;最后再解出y”的表达式(在表达式中允许保留变量y).

    5.取对数求导方法

    若函数y=f(x)在点x处可导,将函数y=f(x)两边取对数1ny=lnf(x)

    然后化成上述隐函数的导数计算,这种方法就称为取对数求导方法。

    [注意]取对数求导方法主要适用于幂函数了“(x),指数函数a2,释指函数[(x)])等函数形式其中a为常数,a>0且a/1,(x)>0且f(x)子1.

    例如求幂指函数y=[f(x)]”的导数。在函数两边取对数

    Iny=g(x).ln/(x)

    两边再同时对变量x求导,将y视为x的函数

    三、高阶导数

    定义若函数y=f(x)的导数f'(x)在点工处可导,则称/(x)的导数为函数y=f(x)在点x处的二阶导数,记作

    根据导数的定义,函数f(x)在点工处的二阶导数就是求极限一般地,我们定义f(x)的n-1阶导数的导数为n阶导数,即如果f(x)的n一1阶导数的导数存在,就称这个导数为原来的函数y=f(x)的n阶导数,记作

    即有[y=)]'=y”(n=2,3,4.……)二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。函数f(x)的各阶导数在点x处的值,记为 

     f'(xo),f"(xn),f"an)….J"cn)或yy ….yl

    四、微分

    1.微分定义

    若函数y=f(x)在点x处的某个邻域内有定义,如果对自变量在点x处的改变量△x,函数的改变量Ay=f(x+Ax)-f(x)可以表示为两项和,即 Ay=A·Ar +o(Ar)(Ax→0)

    其中A与Ar无关,。(ax)是关于Ar的高阶无穷小,则称函数f(x)在点x可微,并称A·Ar为 函数f(x)在点x的微分,记作dy或df(x),即 dy=.A·Ar或df(x)=A.Ar

    由上述定义知,函数y=f(x)在点x的微分有两个特性:

   (1)它是自变量的改变量Ax的线性函数:A·Ax.

   (2)当ar→0时,函数的改变量Ay与微分dy之差,即Ay一dy是一个比Ax高阶的无穷小量:-dy=o(ar).

    2.可微与可导的关系

    函数y=f(x)在点x可微的充要条件是该函数在点x可导,且 dy=f'(r)Ax因自变量的改变量Ax与自变量的微分dx相等,即ar=dr,通常微分记作 dy=f'(x)dx

    3.微分的计算

    由函数在点工可微与可导的关系知,计算函数y=f(x)的微分不需要任何新的运算,只要求出导数f'(x),再乘上因子dr(=Ar)即可,即 dy=f'(x)dr

    4.微分形式的不变性

    我们已经知道,当函数y=f(u)在《点可导,而u为自变量时,函数的微分为dy=f'(u)du

    如果山不是自变量而是中间变量,即u=g(x),其中x为自变量时,函数的微分是怎样的形式呢?只要用复合函数的求导数公式便可求出.

    所以dy=f'(u)·。'(r)dr

    但因  du=p'(r)dr(因为u=o(x))

    所以得到  dy=f'(u)du

    即u为中间变量时,函数的微分也有相同的形式.这就是说,对于函数y=f(u),无论《是自变量还是中间变量,函数的微分dy具有相同的形式dy=f'(u)du.这就叫做微分形式的不变性。

    这也就是说,在以上的基本初等函数的微分公式中,将自变量x换成中间变量w也是正确的。

                                                             (本文原创:转载未经许可将追责)