2019年专升本高等数学(二)考前重点资料《连续》_成考学历教育网

发布时间:2019-03-07 10:06:52
    第一章 函数、极限和连续

    第三节  连续

    一、函数的改变量

    设。和山分别是变量4的初值和终值,则终值与初值之差一,就叫做变量a的改变量记为Au,即有改变量n可以是正的,也可以是负的。当山>山时,an就是正的,表明从。变到a山时,变量a是增加的;当w山<ts时,An就是负的,表明从u。变到a,时,u是减少的。

    [注意]A业是一个完整的记号,不能看成是符号4与变量u的乘积。

    这里变量w可以是自变量x,也可以是函数y,如果是自变量x,则称Ar=xi一x为自变量的改变量;如果是函数y,则称Ay=y1一y。为函数的改变量。

    有时为了方便起见,自变量x与函数y的终值不写成x;和y,而直接将它们写成x。+ar 和y如果设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义,当自变量x在点x。处有一改变量Ar(即自变量从x变到x。+Ax)时,函数y的相应改变量则为4y=f(xo+Ax)-f(xo),其几何意义如图1-2所示。

   二、函数的连续性

    1.函数在一点x。处连续的定义

    如果一个函数y=f(x)的图形是一条不间断的曲线,那么显然可以说这个函数是连续的,如图1-3所示的函数y=f(x)就是连续的。

   如果在某点x。处曲线断开了(没有连上),自然可以说函数在这个点x。处不连续。如图1-4所示,曲线在x。处断开了,我们说函数y=f(x)在xn处不连续。上画讲的是画出了函数的图形后如何看函数在某点是连续的还是不连续的方法。如果我们没有画出函数的留形,如何描述函数在某点益续成不连续呢?为此,让我们即看看图1一4.在小处,酯数值为(x。),当自变量从x变到x。+ar,面ar>0时,函数值有一个突然的改变,显然当么.。0时,Ay不能趋近于0,所以函数在x。处不连续,而在连续的点,则有当Ax-0时,函教的改我得入心也要趋近于。.于是可以给出函数在某点连续的定义如下,

   定义设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,如果当自变量的改变量Ar(初值为)趋近于0时,相应的函数改变量Ay也趋近于0,即 lim[/(xo+Ax)-f(x0)]=0则称函数y=f(x)在点x。处连续。

    如果记x=xo+Ax,f(x)=f(xo+ax)

    则Ax→0就是x→xo,因而上式可以改写成:

    因此函数y=f(x)在点x。处连续也可作如下定义:

    定义设函数y=f(x)在点x。的某个邻域内有定义,如果当x→x。时,函数f(x)的极限值存在,且等于x。处的函数值f(xo),即limf(x)=f(xo)

    则称函数y=f(x)在点x。处连续,limx=xo

    即如果函数在点x。处连续,则在点x。处可以交换极限号和函数号的顺序。

    由于f(x)在xo处的极限存在,要求其左、右极限均存在且相等,所以f(x)在xo处连续时,要即要求左、右极限都存在,且等于函数值f(xo).

    由此可见,如果需要求函数f(x)在某点x。处的极限值,又已知f(x)在x0处连续,则可以将(xo)的值作为f(x)在x。处的极限值.

    2.函数在闭区间[a,b]上连续

    定义如果函数f(x)在区间[a,b]上的每一点x处都连续,则称/(x)在区间[a,b]上连续,并称f(x)为[a,]上的连续函数。

    这里,f(x)在左端点a连续,是指满足关系并称f(x)在a点右连续;在右端点b连续,是指满足关系并称f(x)在b点左连续.

    可以证明:初等函数在其定义域区间内都连续.在右端点b连续,是指满足关limf(x)=f(b)并称f(x)在b点左连续。

    可以证明:初等函数在其定义域区间内都连续.

    三、函数的间断点

    定义如果函数f(x)在点x。处不连续,则称点x。为f(x)的一个间断点。

    由函数在某点连续的定义可知,如果f(x)在点x。处有下列三种情况之一,则点x。是f(x)的个间断点:

   (1)在点x。处,f(x)没有定义。

   (2)在点x。处,f(x)的极限不存在。

   (3)虽然在点x。处f(x)有定义,且limf(x)存在,但lim/(x)关f(xo)

    四、函数在一点处连续的性质

    定理十三(连续函数的四则运算)设函数f(x),g(x)在x。处皆连续,则

   (1)f(x)±g(x)在xo处连续.

   (2)f(x)·g(x)在xo处连续.

   (3)若g(x0)0,则S)在x0处连续.

    定理十四(复合函数的连续性)设函数u=g(x)在x=xo处连续,y=f(u)在u=g(xo)处连续,则复合函数y=f[g(x)]在x=xo处连续。

    在求复合函数的极限时,如果u=g(x)在x0处极限存在,又y=f(u)在对应的uo=limg(x)处连续,则极限符号可以与函数符号交换,即定理十五(反函数的连续性)设函数y=f(x)在某区间上连续,且严格单调增加(严格单调减少),则它的反函数x=1(y)也在对应区间上连续,且严格单调增加(严格单调减少)。

    五、闭区间上连续函数的性质

    定理十六(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。

    其中,最大值AM和最小值m的定义如下:

    定义设f(xn)=M是闭区间[a,b]上某点xn处的函数值,如果对于闭区间[a,b]上的任一点x,总有f(x)≤M,则称M为函数f(x)在[a,]上的最大值,同样可以定义最小值m.

    因为函数f(x)在[a,b]上连续,所以对于[a,b]上所有的点,极限都存在,且f(x)都有定义,将所有这些函数值比较一下,总有一个最大的,就是最大值M,最小的就是最小值m.

    [注意]这个定理中的两个条件——闭区间和函数连续—是缺一不可的,而且它们只是充分条件而非必要条件。

    定理十七(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对介于m与M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个点6,使得f()=c

    这是因为既然f(x)的最小值为m,最大值为M,而f(x)在[a,b]上又是连续的,那么对介于m与M之间的任何实数c,在区间[a,b]上必定至少可以找得到一个点,使得f(g)=c.也就是说,必定在[a,b]上存在一个点6,使其函数值等于c,因为函数值从m变到M,必须经过这个函数值c,不能跳过去。例如函数f(x)在[a,]上连续,如图1-5所示,对介于m和M之间的值c,有三个点:a-6.,使得因为当在图中画一条直线y=c时,这条直线必定与曲线y=f(x)至少交于一个点。这个点的横坐标就是5,而且这样的点可能有几个,并且此点还可能在区间的端点.

    推论(零点定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点,使得f()=0零点定理常用来判断方程f(x)=0的根的存在性

    这由图1-6可以清楚地看出来,因为f(x)的值连续且从负值f(a)变到正值f(b),必定要经过0这个值,即曲线必定要与x轴相交,这个点的横坐标就是推论中的数值.

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