2019年专升本高等数学(二)考前重点资料《无穷大量和无穷小量》_成考学历教育网

发布时间:2019-03-07 10:06:10
    第一章 函数、极限和连续

    第二节  极限

    三、无穷大量和无穷小量

    1.无穷大量(简称无穷大)

    定义对于函数y=f(x),如果自变量x在某个变化过程中,函数值的绝对值越来越大,且可以无限地增大,则称在该变化过程中,f(x)为无穷大量。记作limf(x)=o

    这里所说的“自变量x在某变化过程中”是指当x→xo,或x→d,或x→xm,或x→-co,或r-+oo,或x→o中的一个。为了简单起见,我们并没有专门再提出数列,而把它归人函数之中,并且有时将数列与函数统称为变量。

    [注意]

   (1)我们说某个函数是无穷大量时,一定要指出它是在自变量哪个变化过程中,函数是无穷大

   (2)不可将一个很大很大的数和无穷大量混为一谈.一个很大很大的数,例如10的一亿次方,不是无穷大量.无穷大量是其绝对值越来越大且可以无限增大的变量,任何常数都不是无穷大量。

   (3)变量之值的绝对值越来越大且可以无限增大时,才能称为无穷大量.无界的变量不一定是充穷大量。

    2.无穷小量(简称无穷小)

    定义对于函数y=f(x),如果自变量x在某个变化过程中,函数f(x)的极限为0,则称在该变化过程中,f(x)为无穷小量,一般记作lim/(x)=0即在一般情况下,极限号下的变化过程可以省略,但如果指出了具体的变化过程(如x-…),则应注明变化过程。

    [注意]

   (1)不要把一个很小很小的数误认为是无穷小量。例如10的一亿次方分之一,它只是一个很小的数,是一个常数,其极限不为0,所以不是无穷小量。

   (2)无穷小量是一个变量,是在某个变化过程中以0为极限的变量。即在某个变化过程中,变量的绝对值可以无限地变小,且以0为极限,常数中只有0这个数可以看成无穷小量。

   (3)不要笼统地说某个变量是无穷小量,必须说明在什么变化过程中它是无穷小量。因为同一个变量可能在某个变化过程中是无穷小量,而在另一个变化过程中它却是无穷大量。在微积分中,常用希腊字母a9,7来表示无穷小量。有了无穷小量的概念之后,我们可以找到函数的极限与无穷小量之间的一个关系。

    定理七函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)可表示为A与一个无穷小量之和。这就是说,如果limf(x)=A则f(x)=A+a(其中a是无穷小量)

    如果f(x)=A+a

    则limf(x)=A

    3.无穷小量的基本性质

    性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。性质2无穷小量与有界变量的积仍是无穷小量

    4.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系,即它们互为倒置.有以下的定理。

    定理/八在同一变化过程中,如果f(x)为无穷大量,且f(x)0,则高为无穷小量;反之,

    如果f(x)为无穷小量,且f(x)0,则。为无穷大量。

    5.无穷小量的比较

   定义设a、β是同一变化过程中的无穷小量,即lima=0,limg=0

   (1)如果lime=0,则称β是比。较高阶的无穷小量,记作β=o(a).

   (2)如果limA=c0,则称β是与a同阶的无穷小量。

   (3)如果lime=1,则称β与。是等价的无穷小量,记为a~A

   (4)如果lim A=o,则称β是比。较低阶的无穷小量。定理九如果a1、a2、A1、A都是同一变化过程中的无穷小量,且a1~BA,an~A

    这个定理说明,两个无穷小量之比的极限,可以用与它们等价的无穷小量之比的极限来代善。以后我们可以用这个方法来求两个无穷小量之比的极限,此方法可叫做等价无穷小量代答法

    四、函数极限的定理

    定理十(唯一性定理)如果limf(x)存在,则极限值必唯一

    定理十一(夹逼定理)设函数f(x),g(x),h(r)在点了。的某个邻域内(x。可除外)满足条伴8(x)≤f(x)≤h(x)且有limg(x)=limh(x)=a,则lim/(x)=a

    [注意]定理十及定理十一对x→o也成立。

    定理十二函数极限的四则运算定理

    如果limf(x)=A,limg(x)=B,则

   (1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)士limg(x)=A±B

   (2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=AB

   (3)limg(x)0时

    上述运算法则,推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,并有以下推论:

    推论设limfi(x),limfz(x)…,limf。(x)和limf(x)存在,c为常数,n为正整数,则

   (1)lim[/;(x)士fi(x)士…士f.(x)]=limfi(x)士limfi(x)士…士limf.(G)

   (2)lim[c·f(x)]=c·limf(x)

   (3)lim[/(x)]°=[limf(x)]

    [注意]这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零。另外,上述极限的运算法则对于x→0的情形也都成立。

    五、几个重要极限

    利用极限存在准则I和Ⅱ,可以证明下面的两个重要极限:

    1.重要极限

    可扩充一般形式

    该极限的特征是

   (1)g型未定式。

   (2)i早型,方框中变量的形式相同且是无穷小量,即无穷小量的正弦与其自身的比。

    当函数式中出现三角函数或反正弦函数、反正切函数,又是型未定式时,可以考虑用公式

   (1).初用公式时,可通过变量替换,设法将函数式化为公式(1)的形式。待做题较熟练时,可直接利用扩充变形后的公式

    2.重要极限Ⅱ

    重要极限Ⅱ的特征是

   (1)1°型未定式。

   (2)(1+口)d型,方框中变量的形式相同且是无穷小量。这是释指函数f(z)4”的极限。括号(1+口)中1后的变量口与指数位置的变量吉恰好互为倒数关系。一般情况,要变换指数位置的变量,使之满足上述特征(2).

    六、求极限的方法

    求极限的方法很多,因此分清题目类型,选择适当的方法会便计算变得简提,这一点应该引起我们足够的注意。现将已学过的方法归纳总结如下,

   (1)利用极限的四则运算法则求极限。

   (2)利用无穷小量的性质求极限。

   (3)利用等价无穷小量代换求极限。

   (4)利用两个重要极限求极限。

                                                             (本文原创:转载未经许可将追责)