2019年专升本高等数学(二)考前重点资料《数列的极限》_成考学历教育网

发布时间:2019-03-07 10:03:11
    第一章 函数、极限和连续

    第二节  极限

    一、数列的极限

    1.数列的概念

    按一定的顺序排成的无穷多个(或可列个)数,称为数列,记作x1,x,x…简记作(x。),数列中的每一个数称为数列的项,各项依次称为数列的第1项,第2项.…,第n项…,第n项又称为数列的通项或一般项。

    从函数定义来理解数列,数列是一个函数,其定义域是自然数集合N,数列的通项x。就是函数的表达式.即x.=f(n),nEN

    2.数列的极限

    定义对于数列(x。),如果当n→。o时,x。无限地趋于一个常数A,则称当n趋于无穷大时,数列(x。)以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作limx,=A否则,称数列{x。)没有极限。如果数列没有极限,就称数列是发散的。

    3.数列极限的性质

    定理一(唯一性)若数列(x。)收敛,则其极限值必定唯一.定理二(有界性)若数列(x。)收敛,则它必定有界。

    [注意]这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛.定理三(夹逼定理)若数列(x。),{y。},(z。)满足不等式y,≤xn≤zn(n=1,2,3…)且limy。=limz,=A,则limz。=A.定理四如果单调增加数列有上界,则该数列必定有极限。

    即如果对于所有的正整数n,均存在一个数M,有x.Sxl,且x.≤M则limx.必定存在。

    这个定理从直观上看也是明显的,因为数列是单调增加的,即随着》值增加,x.的值只能的(或者相等),不能减少,所以当n→时,x。只能有这样两种情况;或者x.+四,或者.无册于某个常数A.又因为数列有上界M,即不论x。如何增大,总不能超过这个数M.所以.不能粉无穷大,而只能趋于某个常数A,即数列(。)的极限必定存在。

    对于这个准则,应当注意的是,数列的极限值A不一定就是它的上界M.它们的关系是A≤M

    [注意]定理四也可说成:如果单调减少数列有下界,则该数列必定有极限。定理五极限的四则运算法则

    如果limx.=A,limy.=B,则

   (1)lim(x.士y,)=limx.士limy.=A±B

   (2)lim(x.·y。)=(limx,)·(limy.)=A.B

   (3)当limy.子0时

    二、函数的极限

    1.x→o时函数f(x)的极限

    (1)x→+oo时函数f(x)的极限

   定义对于函数y=f(x),如果当x→+o时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x+时,函数f(x)的极限是A,记作limf(x)=A或f(x)-A(当=—+co时)

    这个定义与数列极限的定义基本上一样,只不过在数列极限的定义中,m→c0一定表示+o,且》是正整数;而在这个定义中,则要明确写出x→十co,且其中的x不一定是整数。

   (2)x→—o时函数f(x)的极限

    定义对于函数y=f(x),如果当x→-o0时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x--时,f(x)的极限是A,记作lim/()=A f(x)→A(当aco时)

   (8)x→②时函数/(x)的极限我们可以将上面两个定义合并起来,得到下面的定义:

    定义对于函数y=f(x),如果当x→-0时.f(x)无限地趋于一个常数A,当x—+co时,f(r)

   也无限地趋于同一个常数A,则称当x→co时,函数f(x)的极限是A,记作limf(x)=A

    对于这个定义,必须注意:x→oo时,f(x)的极限是A,这表示当x→+o以及x——如时,函数f(x)有相同的极限A.而不是像数列的极限那样,只表示当x→+co时,f(x)的极限是A,因为在数列的极限中,n→oo就是n→+0,而在函数的极限中,x-→co不仅表示x→+oo,还表示x—

    2.x→xo时函数f(x)的极限

   (1)x→xo时f(x)的左极限

   定义对于函数y=f(x),如果当x从x。的左边无限地趋于x。时(总有x<xo),函数f(x)

    无限地趋于一个常数A,则称当x→x6时,函数f(x)的左极限是A,记作limf(x)=Af(xo-0)=A

   (2)x→x。时f(x)的右极限

    定义对于函数y=f(x),如果当x从x。的右边无限地趋于x。时(总有x>xo),函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→x。时,函数f(x)的右极限是A,记作limf(x)=Af(xo+0)=A

   (3)当x→xo时f(x)的极限

    定义对于函数y=f(x),如果当x→xo时(但x子x0),函数f(x)的左极限是A,右极限也是A,则称当x→xo时,函数f(x)的极限是A,记作limf(x)=A

    当x一xo时,f(x)的极限是一个很重要的概念,以后我们会看到,关于函数的导数的概念,就是从这个概念引出来的,也就是说,它是导数概念的基础。显然,函数的左极限limf(x),右极限limf(x),与函数的极限limf(.x)之间有以下关系:

    定理六当x→xo时,函数f(x)的极限等于A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)=A

    这就是说,如果当x一x。时,函数f(x)的极限等于A,则必定有左、右极限都等于A:反之,如果左、右极限都等于A,则必有lim/(x)=A.

   几何意义:对任意给定的e>0,总存在一个正数8>0,使得当xE(xo-6,xo)U(xorn+a时,对应的函数曲线f(x)均落在两条平行线A一e与A+e之间(见图1-1).

                                                              (本文原创:转载未经许可将追责)